domingo, 11 de septiembre de 2011

FUCIONES Y ECUACINES EXPONENCIALES

Exponenciales

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La función exponencial

La función exponencial es de la forma y=ax, siendo a

un número real positivo.

En la figura se ve el trazado de la gráfica de y=2x.

x -3 -2 -1 0 1 2 3 -0.5

y 0,125 0,25 0,5 1 2 4 8 -2

En los gráficos inferiores se puede ver como cambia la

gráfica al variar a. Observa que las gráficas de y=ax y

de y=(1/a)x=a-x son simétricas respecto del eje OY

En los gráficos inferiores se puede ver como cambia la

gráfica al variar a. Observa que las gráficas de y=ax y

de y=(1/a)x=a-x son simétricas respecto del eje OY

• El dominio son todos los

reales y el recorrido son los

reales positivos.

• Es continua.

• Si a>1 la función es

creciente y si 0<a<1 es

decreciente.

• Corta al eje OY en (0,1).

• El eje OX es asíntota.

• La función es inyectiva, esto

es si am=an entonces m=n.

Formas de resolución

Depende del tipo de ecuación exponencial del que se trate, hay diversas formas de resolverla, por su nivel de complejidad. A continuación se brindan algunos ejemplos.

Igualación de bases

Sea la ecuación del ejemplo:

$2^{x + 1} = 16\,$

Es evidente que si el primer miembro sólo tiene un término, el término del segundo miembro es potencia del término del primer miembro. Entonces igualamos el segundo miembro, expresando su término como potencia del término del primer miembro:

$2^{x + 1} = 2^4\,$

Luego, por la siguiente propiedad: $a^x = a^y \Rightarrow x = y\,$ , tenemos: $x + 1 = 4\,$

Cambio de variables

Artículo principal:

Sea la ecuación exponencial del ejemplo:

$2 \cdot 7^{x + 2} + 7^x = 33957\,$

Vamos a escribirla así:

$2 \cdot (7^x) \cdot 7^2 + (7^x) = 33957$

Aplicamos el cambio de variable, y escribimos:

$7^x = a\,$

Ahora, al reemplazar, se tiene:

$2a \cdot 49 + a = 33957\,$

Despejamos $a\,$ :

$99a = 33957\,$

$a = \frac{33957}{99}\,$

$a = 343\,$

Ahora, recordemos que $a = 7^x\,$ , luego:

$343 = 7^x\,$

$7^3 = 7^x\,$

$3 = x\,$

Aplicación de logaritmos

Artículo principal:

Sea la ecuación:

$4^{x + 1} \cdot 8^x = 4096\,$

Por la propiedad del logagritmo de un producto, tenemos:

$Log_{2} (4^{x + 1} \cdot 8^x) = Log_{2} 4096$

$(x + 1) \cdot Log_{2} 4 + x \cdot Log_{2} 8 = Log_{2} 4096\,$

Operando:

$(x + 1) \cdot 2 + x \cdot 3 = 12\,$

$2x + 2 + 3x = 12\,$

$5x = 10\,$

De donde sale:

$x = 2\,$

Las propiedades de las potencias.

a⁰ = 1 ·

a¹ = a

a^m · a ⁿ = a^m+n

a^m : a ⁿ = a^{m - n}

(a^m)ⁿ = a^{m · n}

aⁿ · b ⁿ = (a · b) ⁿ

aⁿ : b ⁿ = (a : b) ⁿ

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